Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Rojstvo: 13. 2. 1805 v Dürnu, Nemčija

Smrt: 5. 5. 1859 (starost 54) v Göttingenu, Nemčija

Znan po: Dirichletovem integralu, Dirichletovi L-funkciji, preučevanju Fourierjevih vrst

Življenje in delo: Peter Gustav se je rodil v današnji Nemčiji (tedanja kraljevina Francija), njegov oče pa je bil poštar, trgovec in mestni svetnik. Čeprav je bil najmlajši od sedmih sinov in njegova družina ni bila premožna, so kljub temu podpirali Petrovo izobrazbo. Sprva so ga vpisali v osnovno, nato pa v privatno šolo v upanju, da bo postal trgovec, vendar je že pri 12 letih pokazal veliko mero zanimanja za matematiko in je starše prepričal, da so ga poslali na gimnazijo v Bonn. Od tam je študij nadaljeval v Kölnu, ki pa ga ni zaključil z odliko, saj je slabo govoril latinsko.

Po gimnaziji je Dirichlet starše znova prepričal v finančno pomoč njegovega študija matematike, čeprav so si sami želeli, da bi študiral pravo. Ker Nemčija ni imela dobrega študija matematike (le Gauss na univerzi v Göttingenu, ki pa se mu je poučevanje upiralo), je Dirichlet odšel v Pariz. Tam si je našel tudi službo kot tutor, kar pomeni, da se je lahko otresel finančne podpore svojih staršev.

Dirichlet je zaslovel že s svojo prvo objavo, ko je delno dokazal Fermatov veliki izrek za \(n=5\) (kmalu ga je dokazal v celoti), nekaj let kasneje pa je izrek v celoti dokazal za \(n=14\).

Leta 1825 se je Dirichlet vrnil v tedanjo Prusijo, vendar tam sam ni mogel najti službe. S svojimi pismi sta mu nato pomagala Gauss ter Humboldt in Dirichlet je tako dobil službo kot profesor na univerzi v Breslau. V tem času je svoj dokaz Fermatovega izreka predložil kot doktorsko disertacijo na Univerzi v Bonnu, vendar je bilo zaradi njegove težave z latinščino potrebno veliko debate, preden so mu podelili častni doktorat leta 1827. Poleg tega ga je tedanji minister tudi oprostil opravljanja izpita iz latinščine pri njegovih habilitacijah. Leta 1831 je Dirichlet začel s svojim delom na vojaški akademiji Prusije v Berlinu, vendar je kmalu začel vzporedno poučevanje tudi na filozofski univerzi.

Leta 1832 se je Dirichlet poročil z Rebecko Mendelssohn, leto kasneje pa se jima je rodil tudi sin, Walter.

Med svojim poučevanjem v Berlinu je Dirichlet navezal veliko prijateljskih stikov z drugimi matematiki, med katerimi še posebej izstopata Jacobi in Kummer. Slednji se je leta 1840 poročil s sestrični Dirichletove žene, Jacobi in Dirichlet pa sta mu tudi pomagala do profesorskega mesta na univerzi v Breslau. Leta 1843, ko je Jacobi zbolel, ga je Dirichlet obiskal in skupaj so kmalu odšli na potovanje po Italiji. Tam se je Dirichletu rodila hčerka Flora.

Po Gaussovi smrti se je univerza v Göttingenu odločila, da Dirichleta postavi za njegovega naslednika. Tam je leta 1858 doživel srčni napad in naslednjega leta umrl. Njegovi možgani so, podobno kot Gaussovi, ohranjeni na univerzitetnem oddelku za psihologijo.

Prispevek k matematiki: Glavno področje, na katerem je Dirichlet raziskoval, je bila teorija števil, zato ni presenetljivo, da je prispeval mnogo pomembnih rezultatov. Med najbolj pomembnimi je utemeljitev Dirichletovih L-funkcij, razložil pa je tudi razliko med pogojno in absolutno konvergenco. Dirichlet je dokazal Fermatov veliki izrek za \(n=5\) in \(n=14\), kar je bil za tedanji čas velik matematični uspeh.

Med drugim se je Dirichlet ukvarjal tudi z analizo. Na tem področju so njegovi najpomembnejši dosežki iz preučevanja Fourierjevih vrst, uvedel pa je tudi Dirichletovo funkcijo, kot primer funkcije, ki nikjer ni integrabilna. Kot dokaz za Fourierjeve vrste je uvedel Dirichletov integral, še dandanes izredno pomemben pojem v matematiki.

Čeprav ni objavil veliko na te teme, pa je Dirichlet študiral tudi matematično fiziko, teorijo potenciala, toplotno teorijo, hidrodinamiko, teorijo verjetnosti, metodo najmanjših kvadratov, Laplacovo aproksimacijo ...

Fourierjeva vrsta

V matematiki je Fourierjeva vrsta taka vrsta, ki omogoča razstavljanje poljubne periodične funkcije ali v vsoto znanih periodičih funkcij (kot sta na primer \(sin\) in \(cos\)).
Na sliki je prikazana funkcija, ki je približek t. i. "sawtooth" funkcije ("žagasti zob").