Georg Cantor

Georg Cantor

Georg Cantor

Rojstvo: 3. 3. 1845 v Saint Petersburgu, Rusija

Smrt: 6. 1. 1918 (starost 72) v Hallu, Nemčija

Znan po: Utemeljitvi teorije množic, Cantorjevi množici, Cantorjevi funkciji, aritmetiki kardinalnih in ordinalnih števil, trigonometričnih vrstah

Življenje in delo: Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor se je rodil v Rusiji, njegova starša pa sta bila Georg Waldemar Cantor in Maria Anna Bohm. Njegova vzgoja je temeljila na protestantizmu, izredno rad pa je imel umetnost (bil je tudi violinist). Osnovno šolo je obiskoval v Saint Petersburgu, pri njegovih 11 letih pa so se zaradi očetovega zdravja preselili v Nemčijo (Frankfurt).

V Frankfurtu je Cantor študiral na gimnaziji, ki jo je zaključil z nadpovprečnim uspehom v 1860. V njegovih gimnazijskih časih se je pokazalo, da je izredno nadarjen za matematiko, najbolj pa ga je zanimala trigonometrija. Po gimnaziji se je vpisal na Politehnično univerzo v Zürichu (Švica), kjer je seveda študiral matematiko, vendar le do 1863 ko je njegovo delo prekinila smrt očeta. Po tem neljubem dogodku se je Cantor preselil na Univerzo v Berlin, med poletjem pa je delal tudi na Univerzi v Göttingenu. V tem času se je najbolj ukvarjal s teorijo števil, pa tudi analizo. Doktorat je Cantor prejel leta 1867.

Kot asistent je Cantor delal tudi na Univerzi v Hallu, kjer je nekako opustil teorijo števil ter se bolj posvetil trigonometriji. Do leta 1870 je tako rešil enega izmed najbolj obravnavanih problemov tedanjega časa in pokazal, da lahko vsako trigonometrično funkcijo prikažemo na unikaten način. Dokazal je tudi, da lahko racionalna števila štejemo in jih povezal z naravnimi števili, kmalu pa je isto storil za realna in algebraična števila. Kljub temu, da je 1879 postal profesor in je bil zadovoljen s svojim dosežkom, da si je želel na bolj eminentno univerzo.

Leta 1882 je Cantor postal prijatelj z Gosta Mittag-Lefferjem in začel objavljati v njegovi reviji, Acta Matematica. Kljub temu, da je njegov tekmec Kronecker vsa njegova dela zasmehoval, pa je Cantor vseeno objavljal in ni želel, da mu nasprotnik pride do živega. Na žalost pa to ni trajalo večno. Leta 1884 je Cantor doživel živčni zlom in se zato preusmeril v filozofijo, vendar kljub temu njegovi spori s Kroneckerjem niso ponehali (čeprav naj bi se leta 1890 "pobotala").

Cantor se je poročil 1874, zakon pa mu je prinesel šest otrok. Čeprav je bil priznan matematik, pa ni imel dovolj denarja, da bi lahko preživljal celotno družino. V prostem času je rad igral violino in se ukvarjal z umetnostjo in literaturo. Prejel je tudi Silvestrovo medaljo za svoje dosežke, proti koncu svojega življenja pa je bil, zaradi živčnih zlomov, duševno bolan in je svoja zadnja leta preživel v ustanovi za duševno bolne. Umrl je leta 1918, mnoga njegova dela pa živijo še danes.

Prispevek k matematiki: Cantor je skorajda samostojno utemeljil teorijo množic, definiral kardinalna in ordinalna števila in odkril teorijo transfinitnih števil. Utemeljil je enakost dveh kardinalnih števil s pomočjo bijekcije, bil pa je tudi prvi, ki je pokazal, da je množica realnih števil precej večja kot množica celih števil in da sta množici racionalnih in celih števil po moči enaki.

Cantorjeva domneva kontinuumua je prvi matematični problem na famoznem Hilbertovem seznamu (Hilbert je Cantorja globoko spoštoval), vendar pa ga je mnogo matematikov zaradi njegovih dosežkov zaničevalo. Med najbolj znanimi so že prej omenjeni Kronecker, Poincaré, Wittgenstein, pa tudi teologi. Dandanes je Cantorjeva teorija množic en najbolj pomembnih in kreativnih dosežkov v moderni matematiki.

Cantor je veliko prispeval tudi v teoriji števil. Dokazal je pomemben Fourierjev izrek, podal najbolj moderno definicijo iracionalnih števil, njegova Cantorjeva množica je bil zgodnji navdih za fraktale (prav tako Cantorjeva funkcija) ...

Cantorjeva funkcija

Naj bo \(x=(0,a_1a_2a_3 ...)_3 \in C_0\), kar pomeni da so vsi \(a_i\) enako \(0\) ali \(2\). Definirajmo funkcijo \(C_0 \rightarrow \)!0,1\( \colon f(x)=(0,b_1b_2b_3 ...)_2\), kjer \(x=(0,a_1a_2a_3 ...)_3\).
Tako funkcijo imenujemo Cantorjeva funkcija, zanimivo pa je, da končne točke intervalov \(d_{p,k}\) tako definirane funkcije zavzamejo iste vrednosti.
Vzemimo za primer interval \(d_{1,1}=\)!\frac{1}{3},\frac{2}{3}\(\). Potem je \(f(\frac{1}{3}=f(0.02222...)=f(0.011111...)_2=(0.1)_2=\frac{1}{2}\). Po drugi strani je \(f(\frac{2}{3}=f(0.2)=(0.1)_2=\frac{1}{2}\). Sledi \(f(\frac{1}{3})=f(\frac{2}{3})\), podoben argument pa deluje tudi na drugih intervalih.
Trenutno imamo funkcijo definirano le na \(C_0\), z načinom, ki smo ga pravkar definirali, pa lahko funkcijo dvignemo na celoten \(\)!0,1\(\), tako da definiramo \(f\) na vsakem intervalu \(d_{p,k}\). Ker \(C_0\) nima izoliranih točk in je monotona, je dobljena funkcija pravzaprav zvezna, pa čeprav je konstantna na intervalih, katerih skupna dolžina je 1.
Z drugimi besedami, nekonstantna funkcija \(f\), ki ima odvod enak \(0\) na intervalih, katerih skupna dolžina je \(1\), upse zrasti od \(0\) do \(1\) na intervalu \(\)!0,1\(\). Odvod je seveda nezvezen in nedefiniran v točkah Cantorjeve množice \(C_0\).

Cantorjev najbolj znan citat je: "Lepota matematike je v njeni svobodi", znan pa je tudi po citatu: "V matematiki mora biti umetnost postavljanja vprašanj bolj vredna od reševanja le-teh."