Leonardo Fibonacci

Fibonacci

Fibonacci

Rojstvo: okoli 1170 v Pisi, Italija

Smrt: okoli 1240 (starost okoli 70) najverjetneje v Pisi, Italija

Znan po: Fibonaccijevem zaporedju, Fibonaccijevih številih, kongurencah

Življenje in delo: Fibonaccijev oče Guglielmo Bonacci je bil bogat trgovec iz Pise in je vodil trgovsko postojanko Bugia v severni Afriki. Mladi Leonardo je tako z očetom velikokrat potoval v Afriko, kjer se je naučil veliko o hindujsko-arabskem številskem sistemu. Čeprav nekateri zgodovinski viri navajajo, da naj bi Fibonaccijev oče v resnici bil nižji ladijski uradnik, pa ga tudi sam v svojem najbolj znanem delu Liber abaci imenuje za "javnega upravnika v Bugii, namenjeni trgovcem iz Pise".

Fibonaccijev matematični uspeh temelji na spoznanju, da je aritmetika z hindujsko-arabskimi številkami veliko lažja kot aritmetika z rimskimi številkami. Rezultat tega spoznanja je tudi njegovo potovanje po arabskem svetu, kjer se je učil od najbolj eminentnih arabskih matematikov. S potovanja se je vrnil okoli 1200 in svoje ugotovitve zapisal v že prej omenjeno knjigo Liber abaci (Knjiga o računanju) ter tako hindujsko-arabske številke, decimalni sistem in druge aritmetične metode pravzaprav prinesel v Evropo.

Kmalu po vrnitvi je Fibonacci postal gost cesarja Friderika II, ki je globoko cenil znanost in matematiko.

Fibonacci je umrl med leti 1240 in 1250, najverjetneje v Pisi, njegov stavek, ki v Liber abaci opisuje decimalni sistem pa nekateri zgodovinarji opisujejo tudi kot "najbolj pomemben stavek vseh časov". Čeprav gre seveda za pretiravanje pa je jasno, da je Fibonacci en izmed začetnikov znanstvene revolucije v renesansi.

Prispevek k matematiki: Leonardovi učitelji so bili Perzijci, Hindujci in Arabci, zaradi česar je najverjetneje v svojih delih ponovno uvedel stare grške ideje (kot na primer diofantske enačbe).

Leonardova dela pokrivajo širok spekter del, kot so novi izreki v geometriji, metode za konstrukcijo, pretvarjanje egipčanskih izdelkov, iracionalna števil, Kitajski izrek o ostankih, Pitagorejske trojice ter zaporedja in vrste. Verjetno najbolj znan je po Fibonaccijevem zaporedju \(1,1,2,3,5,8,13,21...\), ki ga z rekurzivno formulo zapišemo \(f(n)=f(n-1)+f(n-2)\) (vsak člen zaporedja je torej seštevek prejšnjih dveh členov), \(f(n)\) pa so tako imenovana Fibonaccijeva števila.

Čeprav je Fibonacci najbolj znan po svoji knjigi Liber abaci, pa tudi delo Liber quadratorum prikaže njegovo izredno mojstrstvo. V njej je namreč definiral kongruence (ostanke pri deljenju) in dokazal nekaj izredno pomembnih izrekov v zvezi z njimi. Med drugim je dokazal tudi izrek, ki določa, kdaj so lahko tri zaporedna števila kvadratna, pa tudi slavni Fermatov veliki izrek za \(n=4\) (čeprav je velikokrat ta njegov dokaz smatran za nepopolnega). Zelo pomembno spoznanje, ki ga je Fibonacci v knjigi zapisal, je tudi, da niso vsa števila, ki jih je Evklid v svojih Elementih zapisal, konstruktibilna samo z ravnilom in šestilom.

Fibonacci je bil prvi matematik, ki je za ulomke uporabljal zapis \(\frac{a}{b}\), v Evropo pa je prinesel tudi oznako za število \(0\).

Fibonaccijevo zaporedje

Fibonaccijevo zaporedje je sestavljeno iz Fibonaccijevih števil. Prva dva člena zaporedja sta določena (torej \(f(0)=f(1)=1\)), nadaljnje pa izračunamo po rekurzivni formuli \(f(n)=f(n?1)+f(n?2)\), kar pomeni da seštejemo prejšnja dva člena. Fibonacci je je zaporedje prvič zapisal, ko je opazoval rast števila zajcev. V zgornji animaciji (klik na sliko za povečavo) je prikazano tlakovanje ravnine s kvadrati, ki imajo za stranice Fibonaccijeva števila in lepo prikazuje logičen razvoj Fibonaccijevega zaporedja do določenega člena (natančneje do devetega člena). Prikazan je tudi razvoj slavne Fibonaccijeve spirale, ki jo narišemo tako, da ob tlakovanju ravnine s kvadrati rišemo povezane "diagonale" teh kvadratov (te "diagonale" so v resnici četrtinski krožni izseki s središčem v enem izmed oglišč kvadrata in robnima točkama v sosednjih ogliščih istega kvadrata).