Evariste Galois

Evariste Galois

Evariste Galois

Rojstvo: 25. 10. 1811 v Bourg-la-Reinu, Francija

Smrt: 31. 5. 1832 (starost 20) v Parizu, Francija

Znan po: Utemeljitvi temeljev teorije grup

Življenje in delo: Evariste Galois je bil rojen oktobra 1811. Oba njegova starša sta se ukvarjala s klasično literaturo, religijo in filozofijo, oče pa je vodil tudi lokalno liberalno stranko. Ko se je na francoski prestol vrnil Ludvik XVII, je Evaristov oče postal tudi župan Galoisovega rojstnega kraja Bourg-la-Reine.

Za Evaristovo izobrazbo je tako večinoma skrbela mati, vendar le do njegovega dvanajstega leta starosti. Takrat (1823) se je namreč vpisal na licej v Parizu. Čeprav je šola v tem času doživljala prevrat in je bilo več kot 100 študentov izključenih, je Galois uspešno študiral in bil en izmed boljših pri latinščini (ki se jo je že zelo mlad, pod maminim nadzorom). Ne glede na to, je kmalu izgubil interes za študij, zanimala ga je le še matematika, zato se je pri svojih 14 letih vpisal na prvi matematični tečaj. Bral je izredno težke Legrendove tekste (Éléments de Géométrie), ki pa jih je kot za šalo dojemal že ob prvem branju ter študiral Lagrangeove objave, ki so mu bile v veliko pomoč in navdih pri njegovem kasnejšem delu.

Zaradi nezanimanja za druga področja študija, je njegov šolski uspeh znatno padel, in ko se je želel vpisati na najbolj prestižno pariško univerzo, École Polytechnique, so ga zavrnili. Zato se je vpisal na École Normale.

Svoje prve matematične članke je Galois objavil leta 1829. V tem času je študiral polinomske enačbe, na temo katerih je objavil dva članka. Znani matematik Cauchy, ki je njegova članka evaluiral, je drugega zavrnil iz neznanih razlogov. Istega leta je Galoisova mati naredila samomor, njegov oče, ki je bil spoštovan mož, pa ni prenesel pritiska in se je obesil. Evarista je družinska tragedija močno pretresla in je pustila močne posledice tudi na njegovem nadaljnjem delu in življenju.

Kmalu po tem dogodku se je Galois znova želel vpisati na École Polytechnique, vendar je bil spet zavrnjen. Okrog njegove tokratne zavrnitve krožijo zanimive anekdote (v svojega izpraševalca na sprejemnem izpitu naj bi metal celo gobe za brisanje table), vendar je najverjetneje da je razlog njegovega neuspeha smrt očeta. Diplomiral je na École Normale leta 1829.

Galoisa v življenju ni ravno spremljala sreča. Po družinski tragediji je kmalu našel zapise mladega matematika, Nielsa Henrika Abela, ki so mu pomagali pri njegovem delu. Ko je leta 1830 popravil članek, ki ga je Cauchy poprej zavrnil, mu ga je znova poslal, in tokrat je bil Cauchyju tako všeč, da ga je posredoval Fourierju, ki je bil tedaj tajnik akademije v Parizu, ta pa ga je predlagal za akademsko nagrado. Na žalost je Fourier istega leta umrl, kar je botrovalo k temu, da se je Galoisov članek izgubil in zato seveda ni mogel biti nagrajen.

Galois je umrl leta 1832 v dvoboju. Razlogi za dvoboj niso čisto jasni, nekatere zgodbe in zapisi pa omenjajo žensko, madam Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, ki naj bi se družila z Galoisom. Ta naj bi sprožila njegov dvoboj z Pescheux d'Herbinvilleom, ki je bil njen zaročenec in je bil tudi član policijske patrulje, ki je Galoisa aretirala med izgredi v Parizu leto poprej. Evariste je bil med dvobojem ustrejen v trebuh, našel pa ga je sprehajalec nekaj ur kasneje in ga odpeljal v bolnišnico. Tam je Galois še zadnjič govoril s svojim bratom Alfredom ("Ne pleure pas, Alfred! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans!"  oziroma "Ne joči Alfred! Potrebujem ves svoj pogum, da umrem pri dvajsetih!") in umrl.

Prispevek k matematiki: Čeprav Galois, v primerjavi z drugimi eminentnimi matematiki, nikoli ni postal profesor, večina njegovih člankov pa je bila objavljenih po smrti, ga še vedno štejemo med enega izmed največjih matematikov vseh časov.

Galois je bil prvi, ki je teorijo grup povezal s teorijo enačb in tako revolucionaliziral obe veji matematike. Prav zaradi tega ga smatramo kot utemeljitelja teorije grup, prvi pa je uporabil tudi term grupa, ustvaril koncept podgrupe, odkril pomembno družino grup, imenovano družina splošnih linearnih (matričnih) grup (označimo \(GL_n(p)\)) in razvil koncept končnega polja, ki ga danes imenujemo Galoisovo polje.

Abel je bil prvi, ki je pokazal, da nekatere polinomske enačbe nimajo algebraičnih rešitev, Galois paje postavil zadostne in potrebne pogoje, da te algebraične rešitve obstajajo. Njegove glavne ideje so bile zapisane v pismu, ki ga je napisal Hermannu Weylu noč pred usodnim dvobojem, slednji pa je pismo označil za najbolj vpliven tekst v zgodovini človeštva.

Čeprav je Galoisova teorija grup ena izmed najbolj vplivnih idej v zgodovini matematike pa je bilo njegovo delo po večini spregledano do revolucionarnega dela Kleina in Lieja, s katerim so Evaristove ideje dobile velikanski pomen.

Cayleyev graf GL(2,2)

Teorija grup je ena najtežjih in hkrati najpomembnejših vaj matematike. Osnovna struktura je grupa, ki si jo lahko poenostavljeno predstavljamo kot množico elementov z neko določeno operacijo, za katere morajo veljati določena pravila:
1. Množica mora biti zaprta za operacijo (če torej naredimo operacijo na dveh elementih množico, moramo kot rezultat dobiti spet rezultat v množici),
2. vsebovati mora inverze za operacijo (vsak element mora v množici imeti svoj inverz glede na grupno operacijo),
3. izbrana operacija mora biti asociativna (\((a*b)*c=a*(b*c)\)),
4. množica mora vsebovati nevtralni element (to je element \(e\), za katerega velja \(g*e=e*g=g\)).
Glede na to, da je grupa zaprta struktura za operacijo, so lahko nekateri njeni elementi t. i. generatorji grupe. To pomeni, da lahko z izvajanjem operacije na elementu samem za rezultate dobimo vse ostale elemente (npr.: grupa \(Z_n\) je grupa vseh ostankov pri seštevanju po modulu \(n\), torej \(Z_4=\{0,1,2,3\}\). V tej grupi je operacija +, generator pa \(1\), saj \(1+1=2,2+1=3,3+1=0,0+1=1\) - samo s prištevanjem \(1\) smo dobili vse elemente v grupi).
Poznamo kar nekaj tipičnih družin grup, Galois pa je bil utemeljitelj splošne linearne grupe (\(GL_n(P)\)), ki sestoji iz vseh matrik velikosti \(n \times n\), njihovi koeficienti so iz polja \(P\), determinante teh matrik pa so različne od \(0\).
Ker je grupa abstrakten objekt, si ga izredno težko predstavljamo. Zato obstajajo neke tipične upodobitve grup, najbolj znana pa je Cayleyev graf grupe. Pri tem prikazu vsak element grupe predstavimo kot vozlišče grafa, usmerjene povezave pa nakazujejo kako posamezni generatorji grupe delujejo na elemente (torej kater element v grupi dobimo, če izbran element pomnožimo/seštejemo... z izbranim generatorjem). Na zgornji sliki je prikazan Cayleyev graf grupe \(GL_2(Z_2)\), modre puščice predstavljajo delovanje generatorja \(\bigl[\begin{smallmatrix}1&1\\1&0 \end{smallmatrix} \bigr]\), rdeče pa delovanje \(\bigl[\begin{smallmatrix}1&1\\0&1 \end{smallmatrix} \bigr]\). Determinanto matrike velikosti \(2 \times 2\) izračunamo \(\bigl[\begin{smallmatrix}a&b\\c&d \end{smallmatrix} \bigr]=a \cdot d - b \cdot d\).