David Hilbert

David Hilbert

David Hilbert

Rojstvo: 23. 1. 1862 v Königsbergu, Nemčija

Smrt: 14. 2. 1943 (starost 81) v Göttingenu, Nemčija

Znan po: Hilbertovih prostorih, funkcionalni analizi, delu na področju geometrije, Hilbertovih problemih, Hilbertovih aksiomih

Življenje in delo: Hilbert se je rodil očetu sodniku in materi filozofinji, ki je bila navdušena tudi nad astronomijo. Že zelo zgodaj se je začel navduševati nad praštevili in oblikami, kar je najbrž tudi razlog, da je že zelo zgodaj osvojil veliko matematičnega znanja.

Na Univerzi v Königsbergu je Hilbert študiral leta 1844, en semester pa je študiral tudi vzporedno na Univerzi v Heidelbergu, saj si je močno želel dodatnih predavanj iz diferencialnih enačb. Še istega leta je spisal disertacijo o algebraičnih oblikah in invariantnih lastnostih, prejel pa je tudi doktorat iz filozofije. Po študiju si je želel matematične inspiracije, zato se je srečal s priznanimi matematiki tedanjega časa (tudi Poincaréjem v Parizu), vendar ga njihove ideje niso navdihnile.

Kmalu je dobil službo kot profesor na Univerzi v Göttingenu, vendar z njo ni bil zadovoljen in se je začel dolgočasiti. Zato se je odločil, da bo šel na vnovično potovanje in se srečal z matematiki v upanju na vnovičen navdih. Tokrat se je potovanje bolje izteklo in Hilbert je bil zadovoljen z izkušnjo. Vrnil se je v  Königsberg, kjer je delal na reševanju problema končni baz, s katerim se je ukvarjal Paul Gordan. Po mesecih dela se je Hilbertu zdelo, da je našel rešitev, vendar noben od matematikov (še posebej ne Gordan) ni bil zadovoljen z dokazom. Fleix Klein, še en izmed tedaj priznanih matematikov, je ob branju dokaza Hilberta poklical nazaj v Göttingen ter mu ponudil dodatno šolanje. Prav z njegovo pomočjo je Hilbert nato svojo rešitev problema končnih baz dopolnil in tokrat je bil tudi Gordan zadovoljen z rezultatom.

Matematičnemu uspehu so kmalu sledili tudi drugi, zasebni uspehi, saj je Hilbert kmalu postal asistent na univerzi v Königsbergu, povabili pa so ga tudi v nemško matematično skupnost, da bi raziskoval na področju teorije števil. V tem času je našel najbližji možen dokaz za transcendentnost števil \(\pi\) in \(e\). Ko je prejel pismo Felixa Kleina, da so mu ponudili mesto profesorja na Univerzi v Göttingenu, se je odločil da se za vedno preseli tja.

Hilbert se je poročil s svojo drugo sestrično, rodil pa se jima tudi sin, Franz. V 68. letu starosti so Hilberta zaprosili, naj se upokoji in prepusti službovanje drugemu profesorju. Ta prošnja je bila posledica režima, ki ga je tedaj uvajal mladi nemški kancler Adolf Hitler, ki je Židom prepovedoval poučevanje. Leta 1943 je Hilbert zaradi frustracij in poslabšanega zdravja umrl, njegovega pogreba se je udeležilo manj kot deset ljudi, novica o njegovi smrti pa je svet obkrožila šele pol leta kasneje.

Prispevek k matematiki: Mnogi smatrajo Hilberta kot največjega matematika 20. stoletja. Ukvarjal se je z mnogimi področji matematike, kot so aksiomatska teorija, algebraična teorija števil, razredne funkcije in funkcionalna analiza. Njegov največji uspeh je utemeljitev Hilbertovega prostora, ki je en izmed ključnih konceptov današnje funkcionalne analize in moderne matematične fizike. Mnogi ga smatrajo kot utemeljitelja algebraične geometrije (njegov Nullstellsatzov izrek je tej veji matematike postavil temelje), meta matematike in moderne logike.

Hilbert je poznan tudi po svojem sistemu Hilbertovih aksiomov, s katerimi je odpravil slabosti evklidske geometrije. Zanimivo je, da je v istem letu (1899) takšen sistem aksiomov objavil tudi mladi matematik Moore in čeprav so si bili nekateri aksiomi med seboj podobni, so Moorovi aksiomi s Hilbertovega, Hilbertovi aksiomi pa z Moorovega zornega kota zgledali kot izreki.

Hilbert je v svojem življenju zagovarjal tudi spodbujanje med kolegi, zato je leta 1900 pred pariškim kongresom objavil znan seznam 23 nerešenih problemov, ki je navdihnil in vodil matematike 20. stoletja. Probleme imenujemo Hilbertovi problemi, nekateri od njih pa še danes niso rešeni. S tem je en izmed najvplivnejših matematikov modernega časa prispeval h razvoju karier mnogih matematikov, kot so Cantor, Minkowski, Weyl, von Neumann, Noether, Church in tudi Einstein.

Hilbertovi matematični problemi:

  1. Domneva kontinuuma: ne obstaja neskončna množica, katere moč je striktno med naravnim in realnim številom. (Domnevo naj bi dokazali leta 1963, vendar dokaz še vedno nima soglasja.)
  2. So aksiomi aritmetike konsistentni? (Problem je leta 1936 delno rešil Gentzen.)
  3. Če imamo podana dva poliedra z enako prostornino, je vedno mogoče prvega razrezati na neskončno mnogo delčkov in jih preurediti tako, da dobimo drugega? (Problem rešen leta 1900, odgovor je ne.)
  4. Konstruiraj vse metrike v katerih so premice geodetke. (Problem je preveč nedoločen, da bi ga lahko označili za rešenega oziroma nerešenega.)
  5. So zvezne grupe avtomatsko tudi Liejeve grupe? (Pri tem problemu še vedno ni jasno ali je rešen ali ne, odvisno je od interpretacije. Z enega zornega kota je bil rešen leta 1953, če pa ga interpretiramo kot Hilbert-Smithovo domnevo, še vedno ni rešen.)
  6. Aksiomatizacija fizike. (Problem je bolj slabo zastavljen, vendar se dandanes za temelje rešitve upošteva akisome Kolmogorova iz leta 1933.)
  7. Je \(a^b\) transcendetno za algebraičen \(a \neq 0,1\) in iracionalen algebraičen \(b\)? (Problem je leta 1935 rešil Gelfond, odgovor je da.)
  8. Riemannova domneva: realni del katerekoli netrivialne rešitve Riemannove \(\zeta\) funkcije je \(\displaystyle{\frac{1}{2}}\) in Goldbachova domneva. (Problem nerešen.)
  9. Najdi splošen zakon recipročnega izreka v kateremkoli algebraičnem polju. (Problem delno rešen.)
  10. Najdi algoritem, ki določi, ali ima diofantska enačba s celoštevilski koeficienti tudi celoštevilsko rešitev. (Problem je leta 1970 rešil Matiyasevich, rezultat pa pravi,d a je tak algoritem nemogoče poiskati.)
  11. Reševanje kvadratnih form \(a \cdot x^2 + c \cdot xy + b \cdot y^2\) z algebraičnimi numeričnimi koeficienti. (Problem delno rešen.)
  12. Razširi Kronecker-Webrov izrek o abelskih razširitvah racionalnih števil do katerekoli baze algebrskega polja. (Problem nerešen.)
  13. Reši enačbo sedme stopnje z uporabo algebraične funkcije z dvema parametroma. (Problem je delno rešil Arnold leta 1957 s pomočjo dela Kolmogorova.)
  14. Dokaži, da je obseg invariantov algebraične grupe, ki deluje na obseg polinomov, vedno končno generiran. (Problem je leta 1959 s proti primerom rešil Nagata.)
  15. Najdi strogo osnovo Schubertovega preštevalnega sistema. (Problem delno rešen.)
  16. Opiši relativne položaje ovalov (krivulje, podobne krogom in elipsam, vendar brez natančnega matematičnega opisa), izpeljanih iz realnih algebrskih krivulj in kot limitne kroge polinomskega vektorskega polja v prostoru. (Problem nerešen.)
  17. Zapiši nenegativno racionalno funkcijo kot kvocient vsot kvadratov. (Problem je leta 1927 rešil Artin.)
  18. Obstaja polieder, ki dovoluje le anisohedralno tlakovanje v tridimenzionalnem prostoru? Katero je najgostejše "pakiranje" sfer? (Prvi del problema je leta 1928 rešil Reinhardt (odgovor je da), drugi del problema pa je s pomočjo računalnika leta 1998 rešil Callister Hales.)
  19. So rešitve regularnih problemov v variantnem računu vedno analitične? (Problem je leta 1957 rešil de Giorni, odgovor je da.)
  20. Ali imajo vsi variantni problemi z določenimi omejitvami rešitve? (Problem rešen.)
  21. Dokaži obstoj linearne diferencialne enačbe, ki ima predpisano monodromsko grupo. (Problem rešen, odgovor pa je lahko da ali ne, odvisno od bolj natančne formulacije problema.)
  22. Združi analitične relacije s pomočjo avtomorfnih funkcij. (Problem rešen.)
  23. Nadaljnji razvoj variantnega računa. (Problem nerešen.)
  24. Hilbert je v resnici objavil 23 problemov, saj se je v zadnjem hipu odločit, da zadnjega ne bo. Ta je bil kasneje odkrit v njegovih zapiskih, govori pa o poenostavljanju splošnih metod v dokazih.