Brahmagupta

Brahmagupta

Brahmagupta

Rojstvo: 598 (najverjetneje) v Bhinmalu, Indija

Smrt: okoli 670 (starost okoli 72) v Indiji

Znan po: Ničli, Brahmaguptovem izreku, obrazcu za izračun ničle kvadratne funkcije, Pitagorejskih trojicah, Brahmaguptovi formuli, decimalnem sistemu

Življenje in delo: Čeprav se ne ve zagotovo, pa obstajajo določeni dokazi, ki nakazujejo, da naj bi bil Brahmagupta iz Bhinmala v Indiji. Njegov oče je bil Jisnugupta, v Bhinmalu pa naj bi preživel tudi večino svojega življenja. Zaradi tega zgodovinarji Brahmagupto največkrat imenujejo tudi Bhillamalacharya (Učitelj iz Bhillamala - staro ime za Bhinmal je Bhillal).

O samem življenju Brahmagupte se ne ve veliko, vendar je znano, da je bil vodja astronomskega observatorija v Ujjainu. V tem času je napisal tudi svoje najpomembnejši deli, Brahmasphutassidhanta (Dalšja razprava iz Brahme leta 628) in Khandakhadyaka (665).

Prispevek k matematiki: Čeprav ni veliko znanega o njegovem življenju, pa lahko, kljub temu da ni podajal nobenih dokazov in je zato nemogoče povedati od kje njegovo delo izvira, veliko povemo o njegovem delu na matematičnem področju.

Njegovo delo Brahmasphutassidhanta je zelo vplivno in mnogi ga smatrajo kot delo, ki kot prvo obravnava ničlo in negativna števila. V samem delu so podana pravila, kako se z ničlo računa (npr. nič plus pozitivno število je pozitivno število), zanimivo pa je tudi, da je Brahmagupta zapisal, da je \(\frac{0}{0}=0\), ničesar pa ni zapisal o primeru \(\frac{a}{0}, a \neq 0\).

Brahmagupta se je ukvarjal z aritmetiko, algebro, numerično analizo in geometrijo. Kar nekaj izrekov in drugih pomembnih rezultatov nosi njegovo ime, vključno s formulo za izračun krogu včrtanega štirikotnika: \(16P^2=(a+b+c+d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)\) (kjer je \(P\) ploščina krogu včrtanega štiriktnika).

Drug pomemben izrek, Brahmaguptov izrek, pravi: V kateremkoli krogu, če sta tetivi \(AB\) in \(CD\) pravokotni in se sekata v točki \(E\), potem je premica skozi \(E\), ki razpolavlja \(AC\), pravokotna na \(BD\). Brahmagupta se je ukvarjal tudi z racionalnimi štirikotniki, njegovo delo pa je mnogo let kasneje doknčal Kummer.

Brahmagupta je bil prvi (poleg Diofanta), ki je enačbe pisal s simboli, ne z besedami. Poleg tega je našel splošno rešitev kvadratne enačbe (\(x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)), rešitev najpreprostejše diofantske enačbe ter dokazal Fibonaccijevo (danes Brahmagupta-Fibonaccijevo) identiteto, ki trdi, da je produkt dveh števil, od katerih je vsako vsota dveh popolnih kvadratov, tudi sam vsota dveh kvadratov: \((a^2+b^2) \cdot (c^2+d^2)=(ac \pm bd)^2 + (ad \pm bc)^2\) (na primer: \((1^2+4^2)(2^2+7^2)=(1+16)(4+49)=17 \cdot 53=901=30^2+1^2=26^2+15^2\)).

Brahmaguptov izrek

Prikaz zgoraj opisanega Brahmaguptovega izreka z izpisom dolžin daljic \(AF\) in \(CF\) (torej premica skozi \(E\) res razpolavlja daljico \(AC\)) in izrisom (pravega) kota med daljico \(BD\) in premico skozi \(E\).